Münster 1999 – wissenschaftliches Programm

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DY: Dynamik und Statistische Physik

DY 13: Niedrigdimensionales Chaos

DY 13.4: Vortrag

Montag, 22. März 1999, 11:45–12:00, R1

Nichtlineare gedämpfte Hill Gleichung — •Bernd Reinhard, Stefan Linz und Peter Hänggi — Theoretische Physik I, Institut für Physik, Universität Augsburg, 86135 Augsburg

Der Vortrag behandelt numerisch und analytisch grundlegende dynamische Eigenschaften einer Klasse von nichtlinearen, parametrisch getriebenen Oszillatoren: r +γṙ +[s−2η f(t)]r^−α=0, wobei f eine π-periodische Funktion bezeichnet. Bei entsprechender Wahl der Nichtlinearität α beschreibt diese Bewegungsgleichung z.B. ein einzelnes Ion in periodisch getriebenen dynamischen Fallen zylindrischen (α=1) oder sphärischen (α=2) Aufbaus. Im linearen Fall α=−1, der im Verlauf der Untersuchungen jedoch ausgeschlossen werden muß, erhält man die gedämpfte Hill-Gleichung. Falls α nicht im Intervall [0,1] liegt und der Antrieb η stark genug ist, existieren stabile (Dämpfung γ>0), strikt positive, π-periodische Lösungen [1], die mit abnehmendem η ein Perioden-Verdopplungs-Szenario zeigen. Aufbauend auf einer von Linz für den Fall α=1 verwendeten singulären Störungsrechnung [2], gelingt es diese Lösungen asymptotisch, d.h. im Grenzfall unendlich starken Antriebs η, analytisch exakt herzuleiten. Durch die Kombination der Störungsrechnung mit einer Stabilitätsanalyse kann man darüber hinaus den Verzweigungsparameter η₁ approximieren, an dem die erste Perioden-Verdopplung stattfindet. Die analytischen Ergebnisse werden formal, d.h. für beliebiges f, berechnet, der Spezialfall f(t)=cos(2t), der numerisch simuliert wird, dient als vergleichendes Beispiel: Abgeschnittene Entwicklungen und insbesondere die approximierte Instabilität η₁ erweisen sich als sehr gute Näherungen im gesamten relevanten Bereich.

[1] R.Blümel, E.Bonneville, A.Carmichael, Phys. Rev. E 57, 1511 (1998)

[2] S. J. Linz, Phys. Rev. A 52, 4282 (1995)