Heidelberg 2007 – wissenschaftliches Programm

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MP: Fachverband Theoretische und Mathematische Grundlagen der Physik

MP 2: Nichtkommutative Geometrie, Quantengravitation und Differenzialgeometrie

MP 2.3: Vortrag

Dienstag, 6. März 2007, 15:00–15:30, KIP SR 1.403

Klassische Eichtheorien auf nichtkommutativen Raumzeiten — •Stefan Weiß, Nikolai Neumaier und Stefan Waldmann — Fakultät für Mathematik und Physik, Universität Freiburg, Hermann-Herder-Staße 3, 79104 Freiburg i. Br.

Die mathematische Struktur einer klassischen Eichtheorie läßt sich am klarsten in der Sprache der Differentialgeometrie erkennen. Die Kinematik einer klassichen Eichtheorie benötigt lediglich die Vorgabe eines Hauptfaserbündels p:P—→ M mit Strukturgruppe G über der Raumzeit M sowie eine Darstellung ρ: G—→ GL(V) der Strukturgruppe auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V. Materiefelder, Eichpotentiale und lokale Eichtransformationen können in diesem Kontext geometrisch interpretiert werden. Versieht man die glatten Funktionen C^∞(M) der Raumzeit mit einem Sternprodukt und betrachtet die zugehörige nichtkommutative Raumzeit, so stellt sich die Frage, wie die Geometrie einer klassischen Eichtheorie daran anzupassen ist. Den Schlüssel hierfür liefert die Modulstruktur der Materiefelder bezüglich der Algebra C^∞(M). Eine geeignete Deformation dieser Modulstruktur ist nach unseren Erkenntnissen stets möglich und liefert die angepaßte Geometrie in Form deformierter Hauptfaserbündel. Die hierauf basierende neue Formulierung klassicher Eichtheorien erlaubt einerseits den Vergleich mit dem kommutativen Fall und zeigt andererseits auf, wo auf der Grundlage nichtkommutativer Raumzeiten geeignete Verallgemeinerungen notwendig sind. Dies ist beispielsweise bei den infinitesimalen lokalen Eichtransformationen der Fall.